「カイ二乗検定」の意味とエクセルによる計算方法

以下は、第40代以降の歴代内閣総理大臣経験者(東條英機〜安倍晋三)の血液型比率を表したグラフと、日本人全体の血液型比率を表したグラフです。

この結果を見て、“内閣総理大臣になるような人物”と、その血液型に関連性があるのかどうか分かるでしょうか？
グラフをそのまま見れば総理大臣にはO型が多いのですが、そもそも日本人にはO型が多い。
人口比率を考えるとB型が多いようにも見える。・・・難しいですね。

そんな時はカイ二乗検定(χ2検定)の出番です。
総理大臣になる人物と血液型が関連するのか、統計学的に調べてみましょう。

カイ二乗検定とは

カイ二乗検定とは、端的に言えば「事象Aと事象Bに関連があるのかどうか」を統計学的に判断する手法です。
今回の例では、“内閣総理大臣になる人物の血液型”と、”日本人の血液型”に関連性があるのかを統計学的に計算することになります。

ちなみに2つの変数は数値で表されるものでなく、「カテゴリー」で表されるものでなくてはいけません。
例えば「年収」というデータは数値なのでそのままでは使えませんが、それを「500万円未満」「500万円以上」とカテゴリー化させれば、カイ二乗検定を適用することができます。
「年代(20代、30代、40代…)」について、「年収500万円未満or以上」の割合に差があるのか比較をする、などですね。

それとウェブマーケティングで用いられるA/Bテストにも、多くの場合カイ二乗検定が用いられています。

補足

「A/Bテスト」というのはインターネットマーケティング等に用いられる手法です。
例えば、ホームページのトップページのデザインを2パターン用意しておいて、それをユーザごとにランダムに表示させ、どちらのデザインにした方がページを最後まで読んでくれる可能性が高いか・・・などをテストする手法のことです。

さて、このように様々な場面で用いられるカイ二乗検定ですが、どのように計算をしているのでしょうか？
実は計算式自体はとてもシンプルなので、簡単にExcelで計算できます。

・・・しかし、きちんと理論を理解して使わなければ正しい判断、正しいアクションに繋げることができません。
ここからはカイ二乗検定がどのような手法なのか、どう行うのかを説明していきます。

カイ二乗検定の理論

カイ二乗検定で行うのは、「期待値」と「実測値」がどれだけ離れているのかを調べることです。
先程の血液型の例で言えば、「総理大臣経験者の血液型比率(実測値)」は「日本人の血液型比率(期待値)」と同じかどうか・・・を調べることになります。
そしてその差が、どれだけ発生しずらいのか(=p値は幾つなのか)を計算するのがカイ二乗検定の焦点になります。

以下のようなイメージです。

上の円グラフが「日本人の血液型比率(期待値)」で、調べたいデータ(今回で言えば「総理大臣経験者の血液型比率」)がそれに近いかどうか見るわけですね。
左に行けば行くほど、上の円グラフと近いので「血液型と総理大臣経験者に関係はなさそう」となります。
右に行けば行くほど、上の円グラフと離れているので「血液型と総理大臣経験者に関係がありそう」となります。
・・・その離れ具合を、数学的に計算してあげるのがカイ二乗検定です。
(先述したABテストの場合、事象Aと事象Bの期待値を50%/50%として、それと実測値がどれほど離れているのかを見ます。)

計算方法としては、すべての事象における「期待値」「実測値」を書き並べます。
そして、「期待値と実測値の差の2乗」を「期待値」で割った値を全て足し合わせます(今回で言えば、A型・O型・B型・AB型の4つ)。
これを「カイ二乗値」と呼びます。

その値と「カイ二乗分布表」と照らし合わせて、その差がどれだけ起こりやすいのか(p値)を判断することになります。
この辺りの計算はExcelの関数に用意されています。

一般的に、p値が0.05以下だと「2つの事象に差がある」と判断することが多いです。

統計学では、「差の2乗」という概念がよく出てきます。差の大きさを調べるだけなので2乗する必要性は無いように感じますが、プラスの場合とマイナスの場合で場合分けするのが面倒なので、一律で2乗してプラスに揃えてしまった方が好都合・・・という理由です。